県外に引っ越して、ナンバーを変える場合でも、廃車にする必要はありません。
普通車の場合でしたら、車庫証明が必ず必要ですから、まず車庫証明を取得する必要があります。車庫証明が取得出来たら転居先の役所で「住民票」を１通発行してもらいます。住民票には「前住所」が記載されているので、車検証の記載住所と新しい住所を確認する為に使います。
引越し先の管轄陸運事務所で現在のナンバーを返納し、新しいナンバーをもらいます。陸運事務所に車を持ち込み、相談窓口で相談しながら手続きするとよいでしょう。かかる費用は、車庫証明の証紙代２７００円と、ナンバープレート代や登録印紙代等で５０００円弱で済みます。
認め印の委任状と住民票を持って近くのディーラー等に依頼するのが一番簡単ですが、その場合は代行手数料が別途必要です。
軽自動車の場合は必要書類が異なりますので、陸運事務所に確認してください。
動かなくなった自動車を廃車にする場合でも、ナンバープレートが付いていれば、ＪＡＦに頼んで回送してくれる場合が多いです。その場合ＪＡＦの会員なら、５km以内であれば無料で回送してくれます。５kmを超えると1kmにつき600円の料金がかかります。ただし、同じＪＡＦでも、地域によっては断られるところもあるので、確認してください。
また回送先ですが、自動車を解体してしまうのであれば解体屋さんに運びます。すでにリサイクル券があれば、解体処分料は無料～10000円位が相場でしょう。リサイクル券が無い場合は、解体屋さんにリサイクル料金を支払って発行してもらいます。
ですが、動かなくなった自動車でも、部品等を海外へ輸出するため思いのほか高く買い取ってもらえることもあるので、いきなり解体してしまうより、まずは廃車引き取りを謳っている業者に連絡して、出張査定などを頼んでみるのもおすすめです。査定は無料のところが多いので、近くの業者を調べてみましょう。
戻りません。リサイクル料金というのは、そもそも廃車時に必要なエアコンなどの処理（リサイクル）費用を所有者が負担するためにあらかじめ支払っておくというシステムです。そのため、車検時に発行される「リサイクル券」が、リサイクル料を支払ったという証明となり、廃車手続きの際に必要となります。
ですから、まだ車検前でリサイクル料金を支払っていない自動車を廃車にする場合は、その時点で支払うことになります。ただし、自動車リサイクル法が施行された2005年１月以降に新車を購入した場合は、購入代金にリサイクル料金も含まれていますので、あらためて支払う必要はありません。
支払われたリサイクル料金は、国の指定を受けた資金管理法人である（財）自動車リサイクル促進センターが管理しています。
参考：「すぐにわかる自動車リサイクル法」
http://www.jarc.or.jp/lesson/index.html
自動車の廃車引取り、廃車手続きに関する情報をまとめました。